Движение является способом существования всего, что человек видит вокруг себя. Поэтому задачи на перемещение разных объектов в пространстве являются типичными проблемами, которые предлагается разрешить школьникам. В данной статье подробно рассмотрим движение вдогонку и формулы, которые необходимо знать, чтобы уметь решать задачи такого типа.

Перед тем, как переходить к рассмотрению вдогонку, необходимо разобраться с этим понятием подробнее.

Под движением подразумевают изменение пространственных координат объекта за определенный промежуток времени. Например, автомобиль, который движется по дороге, самолет, который летит в небесах, или кошка, бегущая по траве, - все это примеры движения.

Важно отметить, что рассматриваемый движущийся объект (автомобиль, самолет, кошка) считают безмерным, то есть его размеры не имеют совершенно никакого значения для решения проблемы, поэтому ими пренебрегают. Это своего рода математическая идеализация, или модель. Для подобного объекта существует название: материальная точка.

Движение вдогонку и его особенности

Теперь перейдем к рассмотрению популярных школьных задач на движение вдогонку и формул для него. Под этим видом движения понимают перемещение двух или более объектов в одном направлении, которые отправляются в свой путь из разных пунктов (материальные точки имеют разные начальные координаты) или/и в разное время, но из одного и того же пункта. То есть создается ситуация, при которой одна материальная точка пытается догнать другую (другие), поэтому эти задачи получили такое название.

Согласно определению, особенностями движения вдогонку являются следующие:

• Наличие двух и более движущихся объектов. Если двигаться будет только одна материальная точка, то ей "некого" будет догонять.
• Прямолинейное перемещение в одном направлении. То есть объекты осуществляют движение вдоль одной и той же траектории и в одном направлении. Движение навстречу друг другу не входит в число рассматриваемых задач.
• Пункт отправления играет важную роль. Идея заключается в том, чтобы в момент начала движения объекты были разделены в пространстве. Такое разделение будет иметь место, если они стартуют в одинаковое время, но из разных пунктов или же из одного пункта, но в разное время. Старт двух материальных точек из одного пункта и в одинаковое время к задачам вдогонку не относится, поскольку в этом случае один объект будет постоянно удаляться от другого.

Формулы движения вдогонку

В 4 классе общеобразовательной школы обычно рассматриваются подобные задачи. Это означает, что формулы, которые необходимы для решения, должны быть максимально простыми. Такому случаю удовлетворяет равномерное прямолинейное движение, в котором фигурируют три физических величины: скорость, пройденный путь и время движения:

• Скорость - величина, показывающая расстояние, которое проходит тело за единицу времени, то есть она характеризует быстроту изменения координат материальной точки. Обозначается скорость латинской буквой V и измеряется, как правило, в метрах в секунду (м/с) или в километрах в час (км/ч).
• Путь - это расстояние, которое проходит тело за время своего движения. Он обозначается буквой S (D) и выражается обычно в метрах или километрах.
• Время - период движения материальной точки, который обозначается буквой T и приводится в секундах, минутах или часах.

Описав основные величины, приведем формулы движения вдогонку:

• s = v*t;
• v = s/t;
• t = s/v.

Решение любой задачи рассматриваемого типа базируется на применении этих трех выражений, которые необходимо запомнить каждому школьнику.

Пример решения задачи №1

Приведем пример задачи движения вдогонку и решения (формулы, необходимые для него, приведены выше). Проблема формулируется следующим образом: "Грузовик и легковой автомобиль одновременно выезжают из пунктов A и B со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч соответственно. Оба транспортных средства движутся в одном направлении так, что автомобиль приближается к пункту A, а грузовик удаляется от обоих пунктов. Через какое время автомобиль догонит грузовик, если расстояние между A и B составляет 40 км?".

Перед тем как решать задачу, необходимо научить ребят определять суть проблемы. В данном случае она заключается в неизвестном времени, которое проведут оба транспортных средства в пути. Предположим, что это время равно t часам. То есть через время t автомобиль догонит грузовик. Найдем это время.

Рассчитаем расстояние, которое пройдет каждый из движущихся объектов за время t, имеем: s 1 = v 1 *t и s 2 = v 2 *t, здесь s 1 , v 1 = 60 км/ч и s 2 , v 2 = 80 км/ч - пройденные пути и скорости движения грузовика и автомобиля до того момента, когда второй догонит первого. Поскольку расстояние между пунктами A и B равно 40 км, то автомобиль, догнав грузовик, пройдет путь на 40 км больше, то есть s 2 - s 1 = 40. Подставляя в последнее выражение формулы для путей s 1 и s 2 , получим: v 2 *t - v 1 *t = 40 или 80*t - 60*t = 40, откуда t = 40/20 = 2 ч.

Отметим, что данный ответ можно получить, если использовать понятие скорости сближения между движущимися объектами. В задаче она равна 20 км/ч (80-60). То есть при этом подходе возникает ситуация, когда один объект движется (автомобиль), а второй относительно него стоит на месте (грузовик). Поэтому достаточно поделить расстояние между пунктами A и B на скорость сближения, чтобы решить задачу.

Пример решения задачи №2

Приведем еще один пример задач на движение вдогонку (формулы для решения используются те же): "Из одного пункта выезжает велосипедист, а через 3 часа в ту же сторону выезжает автомобиль. Через какое время после начала своего движения автомобиль догонит велосипедиста, если известно, что он движется в 4 раза быстрее?".

Решать эту задачу следует так же, как и предыдущую, то есть необходимо определить, какой путь пройдет каждый участник движения до момента, когда один догонит другого. Предположим, что автомобиль догнал велосипедиста через время t, тогда получаем следующие пройденные пути: s 1 = v 1 *(t+3) и s 2 = v 2 *t, здесь s 1 , v 1 и s 2 , v 2 - пути и скорости велосипедиста и автомобиля соответственно. Заметим, что до того, как автомобиль догнал велосипедиста, последний находился в пути t + 3 часа, так как он выехал на 3 часа раньше.

Зная, что оба участника отправились из одного пункта, и пройденные ими пути будут равны, получаем: s 2 = s 1 или v 1 *(t+3) = v 2 *t. Скорости v 1 и v 2 нам не известны, однако в условии задачи сказано, что v 2 = 4*v 1 . Подставляя это выражение в формулу для равенства путей, получим: v 1 *(t+3) = 4*v 1 *t или t+3 = 4*t. Решая последнее, приходим к ответу: t = 3/3 = 1 ч.

Формулы движения вдогонку являются простыми, тем не менее школьников в 4 классе важно научить мыслить логически, понимать значение величин, с которыми они имеют дело, и осознавать проблему, которая перед ними стоит. Ребят рекомендуется призывать к рассуждениям вслух, а также к командной работе. Кроме того, для наглядности задач можно использовать компьютер и проектор. Все это способствует развитию у них абстрактного мышления, коммуникативных навыков, а также математических способностей.

Цель урока: познакомить учащихся с новым видом задач на движение (вдогонку).

• обучающие : учиться читать и записывать информацию, представленную в виде различных математических моделей, строить высказывания, продолжать учиться называть цели конкретного задания, алгоритм (план работы), проверять, исправлять и оценивать результаты работы так, как это было описано ранее.
• развивающие : способствовать развитию математического мышления, познавательной активности обучающихся, умения пользоваться математической терминологией.
• воспитательные : продолжить работу по воспитанию взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата;
• воспитывать внимание, самостоятельность, самоконтроль, аккуратность, прививать интерес к предмету.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Методы и приемы: словесные, наглядные, частично-поисковые.

Используемые учебники и учебные пособия: Учебник “Математика” Алматы “Атамра” 2011

Используемое оборудование:

• интерактивное оборудование (мультимедийный проектор), компьютер,
• интер.доска.

Ход урока

1. Вводно-мотивационная часть

Всем она давно знакома -
Ждёт послушно возле дома,
Только выйдешь из ворот-
Куда хочешь поведёт.

Какое действие совершают машины по дороге?

Прочитайте дружно, хором наш девиз:

Смело иди вперед,
Не стой на месте,
Чего не сделает один,
Сделаем вместе!

2. Актуализация знаний. Минутка чистописания

Запишите формулы нахождения расстояния, скорости и времени.

Чем отличаются величины: расстояние и скорость?

- Расстояние – это путь, пройденный за несколько единиц времени;

- Cкорость – это путь, пройденный за одну единицу времени

3. Устный счёт (задачи на движение)

Задача №1

Шофер все сильнее давит на газ
Скорость – сто километров в час.
Тебе нетрудно будет сказать,
Сколько проедет за три часа
Автомобиль со скоростью этой?
Решай поскорее – жду ответа!

100 х 3 = 300 (км)

Задача №2

За 5 часов один пешеход
Тридцать пять километров пройдет.
Должен быть ответ поскорее готов:
Сколько пройдет он за восемь часов
Если скорость свою не изменит?
Решай – и учитель ответ оценит!

1) 35: 5 = 7 (км/ч)

2) 7 х 8 = 56 (км)

Задача №3

Возьми-ка ручку,
Открой чистый лист,
Задачу послушай: “Прошел турист
Со скоростью пять километров в час
Сто километров.” Ответ найди:
Сколько часов он был в пути?

Решение: 100: 5 = 20 (час.)

Задача №4

Лора задачу быстро решила:
“Пятьсот километров проедет машина
За десять часов. Какова же скорость?”
Лора решала, не беспокоясь:
Пятьсот умножает на десять скоро.
Ответ получает. Права ли Лора?

Решение:

Лора не права!

500: 10 = 50 (км/ч)

4. Закрепление пройденного.

С какими видами движения вы знакомы?

Встречное движение

Движение в противоположных направлениях.

Движение с отставанием.

С какой темой мы познакомились на прошлых уроках? (- Одновременное движение с отставанием.)

Работа по группам

(Группам раздаются карточки со схемами к задачам)

Задание: Какое направление движения соответствует решению?

14 км/ч+12км/ч=26км/ч

14 км/ч-12км/ч=2км/ч

5. Проблемная ситуация. Решите задачи по схемам.

Почему не удалось решить вторую задачу? - Это задача на движение вдогонку.

Не умеем находить скорость сближения при движении вдогонку.

Постановка учебной задачи.

Какова же тема нашего урока? Задачи на движение вдогонку.

Какие цели мы поставим?

• познакомиться со скоростью сближения при движении вдогонку;
• научиться решать задачи на движение вдогонку.

7. “Открытие” учащимися нового знания.

а) Работа над задачей стр. 230 №3

Вначале понаблюдаем, что происходит с объектами при движении вдогонку. Заполним таблицу, чтобы сделать верные выводы.

(Текст задачи на стр.230 №3, чертежи с числовым лучом, таблица у каждого ученика.)

Прочитайте условие вслух.

Из городов, длина пути между которыми 240км, одновременно в одном направлении выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость автобуса 56км/ч. Сколько километров будет между ними через 2 часа?

Разбор задачи:

В какой точке находится автомобиль? В точке 0.

А автобус? В точке 240.

Какое между ними расстояние до начала движения? 240 км

Занесите в таблицу.

Покажите на числовом луче, где будет находиться автомобиль через час.

В точке 80.

И где через час будет находиться автобус. В точке 296 .

Как изменилось расстояние между ними? Расстояние между объектами за каждую единицу времени будет уменьшаться на одно и то же число.

Как это записать? (Vб - Vм)

Составьте выражение и внесите запись в таблицу. 240 – (80-56) x 1 = 216 км

Покажите на числовом луче, в каких точках будут находиться автомобиль и автобус через два часа. В точках 160 и 352

Как изменилось расстояние между объектами через два часа? Уменьшилось еще на (80-56) x 2

Узнайте, какое расстояние стало между ними через два часа, запишите выражение в таблицу 240 – (80-56) x 2 = 192 км

Сделайте вывод, с помощью какой формулы мы узнали, как изменяется расстояние при движении вдогонку? d = S – (V 1 – V 2) x t

Запишите формулы зависимости между величинами: S, t, V.

Vсбл= (V 1 – V 2) Sп = Vсбл. x t,

t встр.= S: (V 1 – V 2), V 1 = S: t – V 2

d = S – (V 1 – V 2) x t

8. Для закрепления работа над задачей стр.231 №9

9. Рефлексия.

Что такое скорость сближения.

(- Скорость сближения – расстояние, при котором объекты сближаются за единицу времени.)

Как найти скорость сближения при движении вдогонку?

Vсбл = (Vб – Vм),

Какие еще знания необходимы, чтобы успешно решать задачи на движение вдогонку?

Sп = Vсбл. x t,

t встр.= S: (Vб – Vм), V1= S: t – V2

Цель урока: познакомить учащихся с новым видом задач на движение (вдогонку).

• обучающие : учиться читать и записывать информацию, представленную в виде различных математических моделей, строить высказывания, продолжать учиться называть цели конкретного задания, алгоритм (план работы), проверять, исправлять и оценивать результаты работы так, как это было описано ранее.
• развивающие : способствовать развитию математического мышления, познавательной активности обучающихся, умения пользоваться математической терминологией.
• воспитательные : продолжить работу по воспитанию взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата;
• воспитывать внимание, самостоятельность, самоконтроль, аккуратность, прививать интерес к предмету.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Методы и приемы: словесные, наглядные, частично-поисковые.

Используемые учебники и учебные пособия: Учебник “Математика” Алматы “Атамра” 2011

Используемое оборудование:

• интерактивное оборудование (мультимедийный проектор), компьютер,
• интер.доска.

Ход урока

1. Вводно-мотивационная часть

Всем она давно знакома -
Ждёт послушно возле дома,
Только выйдешь из ворот-
Куда хочешь поведёт.

Какое действие совершают машины по дороге?

Прочитайте дружно, хором наш девиз:

Смело иди вперед,
Не стой на месте,
Чего не сделает один,
Сделаем вместе!

2. Актуализация знаний. Минутка чистописания

Запишите формулы нахождения расстояния, скорости и времени.

Чем отличаются величины: расстояние и скорость?

- Расстояние – это путь, пройденный за несколько единиц времени;

- Cкорость – это путь, пройденный за одну единицу времени

3. Устный счёт (задачи на движение)

Задача №1

Шофер все сильнее давит на газ
Скорость – сто километров в час.
Тебе нетрудно будет сказать,
Сколько проедет за три часа
Автомобиль со скоростью этой?
Решай поскорее – жду ответа!

100 х 3 = 300 (км)

Задача №2

За 5 часов один пешеход
Тридцать пять километров пройдет.
Должен быть ответ поскорее готов:
Сколько пройдет он за восемь часов
Если скорость свою не изменит?
Решай – и учитель ответ оценит!

1) 35: 5 = 7 (км/ч)

2) 7 х 8 = 56 (км)

Задача №3

Возьми-ка ручку,
Открой чистый лист,
Задачу послушай: “Прошел турист
Со скоростью пять километров в час
Сто километров.” Ответ найди:
Сколько часов он был в пути?

Решение: 100: 5 = 20 (час.)

Задача №4

Лора задачу быстро решила:
“Пятьсот километров проедет машина
За десять часов. Какова же скорость?”
Лора решала, не беспокоясь:
Пятьсот умножает на десять скоро.
Ответ получает. Права ли Лора?

Решение:

Лора не права!

500: 10 = 50 (км/ч)

4. Закрепление пройденного.

С какими видами движения вы знакомы?

Встречное движение

Движение в противоположных направлениях.

Движение с отставанием.

С какой темой мы познакомились на прошлых уроках? (- Одновременное движение с отставанием.)

Работа по группам

(Группам раздаются карточки со схемами к задачам)

Задание: Какое направление движения соответствует решению?

14 км/ч+12км/ч=26км/ч

14 км/ч-12км/ч=2км/ч

5. Проблемная ситуация. Решите задачи по схемам.

Почему не удалось решить вторую задачу? - Это задача на движение вдогонку.

Не умеем находить скорость сближения при движении вдогонку.

Постановка учебной задачи.

Какова же тема нашего урока? Задачи на движение вдогонку.

Какие цели мы поставим?

• познакомиться со скоростью сближения при движении вдогонку;
• научиться решать задачи на движение вдогонку.

7. “Открытие” учащимися нового знания.

а) Работа над задачей стр. 230 №3

Вначале понаблюдаем, что происходит с объектами при движении вдогонку. Заполним таблицу, чтобы сделать верные выводы.

(Текст задачи на стр.230 №3, чертежи с числовым лучом, таблица у каждого ученика.)

Прочитайте условие вслух.

Из городов, длина пути между которыми 240км, одновременно в одном направлении выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость автобуса 56км/ч. Сколько километров будет между ними через 2 часа?

Разбор задачи:

В какой точке находится автомобиль? В точке 0.

А автобус? В точке 240.

Какое между ними расстояние до начала движения? 240 км

Занесите в таблицу.

Покажите на числовом луче, где будет находиться автомобиль через час.

В точке 80.

И где через час будет находиться автобус. В точке 296 .

Как изменилось расстояние между ними? Расстояние между объектами за каждую единицу времени будет уменьшаться на одно и то же число.

Как это записать? (Vб - Vм)

Составьте выражение и внесите запись в таблицу. 240 – (80-56) x 1 = 216 км

Покажите на числовом луче, в каких точках будут находиться автомобиль и автобус через два часа. В точках 160 и 352

Как изменилось расстояние между объектами через два часа? Уменьшилось еще на (80-56) x 2

Узнайте, какое расстояние стало между ними через два часа, запишите выражение в таблицу 240 – (80-56) x 2 = 192 км

Сделайте вывод, с помощью какой формулы мы узнали, как изменяется расстояние при движении вдогонку? d = S – (V 1 – V 2) x t

Запишите формулы зависимости между величинами: S, t, V.

Vсбл= (V 1 – V 2) Sп = Vсбл. x t,

t встр.= S: (V 1 – V 2), V 1 = S: t – V 2

d = S – (V 1 – V 2) x t

8. Для закрепления работа над задачей стр.231 №9

9. Рефлексия.

Что такое скорость сближения.

(- Скорость сближения – расстояние, при котором объекты сближаются за единицу времени.)

Как найти скорость сближения при движении вдогонку?

Vсбл = (Vб – Vм),

Какие еще знания необходимы, чтобы успешно решать задачи на движение вдогонку?

Sп = Vсбл. x t,

t встр.= S: (Vб – Vм), V1= S: t – V2

Тема : Решение задач на движение (вдогонку)

Цель: Научиться решать задачи на движение.

Задачи:

Образовательные: Сравнивать различные виды движения: вдогонку, навстречу друг другу, в противоположных направлениях, с отставанием.

Отработать правила нахождения скорости сближения, удаления, вдогонку и с отставанием; зависимость между физическими величинами S , t и v (словесные формулировки).
Воспитательные: Воспитывать уважение к предмету, умение видеть математические задачи в окружающем мире.
Развивающие: Развивать умение искать различные способы решения задач и выделять рациональные способы решения. Развивать критическое мышление.

Тип урока : систематизация и обобщение знаний

Оборудование:

1. опорные схемы; формулы.

2. Распечатки тренажёра, теста.

3. Компьютер, проектор, экран

Ход урока.

I ) Организационный момент. - Начинается урок. Пусть он пойдёт ребятам впрок! II) Психологический настрой. - Давайте, ребята, задачи решать, Делить, умножать, прибавлять, вычитать. Запомните все, что без точного счета Не сдвинется с места любая работа. III) Актуализация знаний. Первая стадия ВЫЗОВ:

А) «Отсроченная отгадка»

Нужны ли нам умения решать задачи на движение?

Зачем они нам необходимы? (чтобы не опаздывать на встречи, уметь спланировать время выхода, рассчитать скорость движения, чтобы не было аварий, и т.д.)

Какие существуют виды задач?

Что общего и в чем различие этих задач?

Б) «Свои примеры»

Работа в парах. Игра «Светофор» (повторение связей между величинами: скорость, время, расстояние)

«Светофор» - повторение связей между величинами: S, V, t, Vсближения, Vудаления, Vсближения (движение вдогонку).

Каждый ученик берёт по 3 кружка из 6 предложенных (см. Приложение 1) и показывает кружок с символом другому ученику, тот рассказывает, как найти данную величину. Первый ученик его проверяет по обратной стороне кружка, где записан правильный ответ. Затем другой ученик показывает первому ученику свой кружок, поочерёдно взаимотренаж продолжается дальше.

Пересечение тем. Игра «Точный бросок» - Чтобы правильно рассчитать скорость объекта движения, время или расстояние нужно уметь быстро и точно считать устно. Посчитаем устно. Игра «Точный бросок»

678+24= 248:4= 362-246= 64+474= 808 -537=

218*3= 415-204= 545+85= 515:5= 124*5=

IV) Постановка учебной задачи

Сегодня на уроке будем совершенствовать свои умения решать и составлять задачи на движение встречное, в противоположных направлениях и вдогонгку. Подготовимся к «Блиц – турниру»

V) Закрепление

Вторая стадия ОСМЫСЛИВАНИЕ

А) Фронтальная работа.

Возьмите карточку №1, рассмотрите первую схему. (см. Приложение 2)

Как двигаются объекты? (Навстречу друг другу)

Как изменяется расстояние? (Оно уменьшается)

Какую скорость будем находить? (Скорость сближения)

Как её найдем? (Скорости двух объектов сложим)

Карточка №1

13 км/ч 15 км/ч

Км t встр.=3ч

t встр.=

Составьте по схеме взаимообратные задачи и решите их.

Коллективная проверка

Какое движение рассмотрели? (Встречное)

Какую скорость находили? (Скорость сближения)

Физминутка: Мы на пояс руки ставим, локти в стороны расставим. Повороты начинаем. Правый локоть наблюдаем, теперь левый замечаем. Правый, левый, правый, левый. Плечики не поднимаем, головою лишь вращаем. Перед грудью руки сводим, пальцы глазками находим. Руки плавно поднимаем, глазками их провожаем. Опускаем, поднимаем, только глазками вращаем, голову не поднимаем. Воздух плавно выдыхаем.

VI) Закрепление

Работа в парах.

Рассмотрите карточку №2.

Карточка № 2.

a км/ ч b км/ ч

а + b  4

(а + b)  4

a  4 + b  4

t = 4 ч

Км

а км/ ч

Км/ ч

с км

t = 4 ч

(а + b)  4

c : 4 – а

(с – а  4) : 4

а км/ ч

b км/ ч

c км

t = ? ч

с: (а + b)

c : а + с: b

с: а – с: b

Км/ ч

b км/ ч

с км

t = 4 ч

(c – b  4) : 4

(а + b)  4

c : 4 - b

Определите по схеме как двигаются объекты? (В противоположных направлениях.)

Как изменяется расстояние? (Оно увеличивается.)

Какую скорость находим? (Скорость удаления.)

Как находим? (Скорости объектов складываем.)

Работаем в парах по алгоритму.

Алгоритм работы: Iв IIв, IIв Iв.

Б) Прием Инсерт

Давайте проверим ваши предположения

Прочитайте текст, используя значки:

V уже знал

Новое

Думал иначе

Не понял

Текст читается индивидуально.

СКОРОСТЬ (словарь) –

та или иная степень быстроты движения

та или степень быстроты какого-нибудь действия вообще

расстояние, пройденное в единицу времени.

Скорость - это расстояние, пройденное в единицу времени. Скорость можно измерить и сравнить, значит, скорость является величиной. В качестве единиц измерения скорости обычно используют такие единицы, как метр в секунду (м/с), метр в минуту (м/мин), километр в час (км/ч) и т. д.

Название единицы скорости образуется из единицы длины и единицы времени. Но бывают и другие единицы скорости, имеющие особые названия. Например, моряки измеряют скорость движения в "узлах" (1 узел примерно равен 2 км/ч).

Чем больше скорость предмета, тем меньше он находится в пути. Различные тела движутся с разной скоростью. Например, средняя скорость поезда 100 км в час, человек движется со средней скоростью 4км в час, автомобиль в городе – 60 км в час. В животном мире рекордсменами скорости являются гепард – 70 км в час и улитка – 1,5 мм в секунду. Скорости измеряются различными приборами: спидометром – автомобиль, лагом - корабль, скоростомером - поезд, анемометром измеряют скорость воздушных потоков, для современных велосипедов придумали компьютерный спидометр.

В) Работа у доски

Задача 1
Миша начал догонять Борю, когда расстояние между нами было 100м. Миша идёт со скоростью 80м/мин, а Боря – со скоростью 60м/мин. Через Сколько времени Миши догонит Борю?

Задача 2

Из пунктов А и В одновременно в одном направлении выехали 2 поезда. Скорость первого поезда равна 80 км/ч, а скорость второго, идущего вдогонку первому поезду, равна 110 км/ч. Встреча произошла через 4 часа после выезда поездов. На каком расстоянии друг от друга находятся Пункты А и В?

VII) Рефлексия

Чему мы учились на уроке?

Что вам понравилось?

Что было трудно?

Прикрепите свой флажок к рисунку, который выражает ваше настроение

VIII) Домашнее задание. Идеальное задание.

Придумай задачу на движение вдогонку, в которой надо узнать:

а) время встречи;

б) скорость одного из движущих объектов;

в) первоначальное расстояние между ними.

Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t , υ = S: t , t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.

Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.

Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления – это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

Движение на сближение встречное движение и движение вдогонку . Движение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием .

Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.

Рассмотрим таблицу.

Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются . При движении в одну сторону – вычитаются .

Примеры решения задач.

Задача №1. Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения в разных направлениях )
υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 140 км/ч.

Задача №2. Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях )
υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость удаления 140 км/ч.

Задача №3. Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 – υ 2 – скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении )
υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 20 км/ч.

То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения .

Рассмотрим другие задачи.

Задача № 4. Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
в разных направлениях )
υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)

S = υ уд ·t
S = 9·3 = 27 (км)
Ответ: через 3 ч расстояние будет 27 км.

Задача № 5. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях )
υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S: υ сб
t = 36: 18 = 2 (ч)
Ответ: встретятся через 2 ч.

Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение .
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях )
υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υ уд ·t ⇒ t = S: υ уд
t = 260: 130 = 2 (ч)
Ответ: через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:

Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S 1 + S 2 ;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,
S 1 =υ 1 · t —расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t — расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S = S 1 + S 2 = υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2) = t · υ уд
t = S: (υ 1 + υ 2) — время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ: расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.

1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача. Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача . Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача . Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?