Движение является способом существования всего, что человек видит вокруг себя. Поэтому задачи на перемещение разных объектов в пространстве являются типичными проблемами, которые предлагается разрешить школьникам. В данной статье подробно рассмотрим движение вдогонку и формулы, которые необходимо знать, чтобы уметь решать задачи такого типа.
Перед тем, как переходить к рассмотрению вдогонку, необходимо разобраться с этим понятием подробнее.
Под движением подразумевают изменение пространственных координат объекта за определенный промежуток времени. Например, автомобиль, который движется по дороге, самолет, который летит в небесах, или кошка, бегущая по траве, - все это примеры движения.
Важно отметить, что рассматриваемый движущийся объект (автомобиль, самолет, кошка) считают безмерным, то есть его размеры не имеют совершенно никакого значения для решения проблемы, поэтому ими пренебрегают. Это своего рода математическая идеализация, или модель. Для подобного объекта существует название: материальная точка.
Движение вдогонку и его особенности
Теперь перейдем к рассмотрению популярных школьных задач на движение вдогонку и формул для него. Под этим видом движения понимают перемещение двух или более объектов в одном направлении, которые отправляются в свой путь из разных пунктов (материальные точки имеют разные начальные координаты) или/и в разное время, но из одного и того же пункта. То есть создается ситуация, при которой одна материальная точка пытается догнать другую (другие), поэтому эти задачи получили такое название.
Согласно определению, особенностями движения вдогонку являются следующие:
- Наличие двух и более движущихся объектов. Если двигаться будет только одна материальная точка, то ей "некого" будет догонять.
- Прямолинейное перемещение в одном направлении. То есть объекты осуществляют движение вдоль одной и той же траектории и в одном направлении. Движение навстречу друг другу не входит в число рассматриваемых задач.
- Пункт отправления играет важную роль. Идея заключается в том, чтобы в момент начала движения объекты были разделены в пространстве. Такое разделение будет иметь место, если они стартуют в одинаковое время, но из разных пунктов или же из одного пункта, но в разное время. Старт двух материальных точек из одного пункта и в одинаковое время к задачам вдогонку не относится, поскольку в этом случае один объект будет постоянно удаляться от другого.
Формулы движения вдогонку
В 4 классе общеобразовательной школы обычно рассматриваются подобные задачи. Это означает, что формулы, которые необходимы для решения, должны быть максимально простыми. Такому случаю удовлетворяет равномерное прямолинейное движение, в котором фигурируют три физических величины: скорость, пройденный путь и время движения:
- Скорость - величина, показывающая расстояние, которое проходит тело за единицу времени, то есть она характеризует быстроту изменения координат материальной точки. Обозначается скорость латинской буквой V и измеряется, как правило, в метрах в секунду (м/с) или в километрах в час (км/ч).
- Путь - это расстояние, которое проходит тело за время своего движения. Он обозначается буквой S (D) и выражается обычно в метрах или километрах.
- Время - период движения материальной точки, который обозначается буквой T и приводится в секундах, минутах или часах.
Описав основные величины, приведем формулы движения вдогонку:
- s = v*t;
- v = s/t;
- t = s/v.
Решение любой задачи рассматриваемого типа базируется на применении этих трех выражений, которые необходимо запомнить каждому школьнику.
Пример решения задачи №1
Приведем пример задачи движения вдогонку и решения (формулы, необходимые для него, приведены выше). Проблема формулируется следующим образом: "Грузовик и легковой автомобиль одновременно выезжают из пунктов A и B со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч соответственно. Оба транспортных средства движутся в одном направлении так, что автомобиль приближается к пункту A, а грузовик удаляется от обоих пунктов. Через какое время автомобиль догонит грузовик, если расстояние между A и B составляет 40 км?".
Перед тем как решать задачу, необходимо научить ребят определять суть проблемы. В данном случае она заключается в неизвестном времени, которое проведут оба транспортных средства в пути. Предположим, что это время равно t часам. То есть через время t автомобиль догонит грузовик. Найдем это время.
Рассчитаем расстояние, которое пройдет каждый из движущихся объектов за время t, имеем: s 1 = v 1 *t и s 2 = v 2 *t, здесь s 1 , v 1 = 60 км/ч и s 2 , v 2 = 80 км/ч - пройденные пути и скорости движения грузовика и автомобиля до того момента, когда второй догонит первого. Поскольку расстояние между пунктами A и B равно 40 км, то автомобиль, догнав грузовик, пройдет путь на 40 км больше, то есть s 2 - s 1 = 40. Подставляя в последнее выражение формулы для путей s 1 и s 2 , получим: v 2 *t - v 1 *t = 40 или 80*t - 60*t = 40, откуда t = 40/20 = 2 ч.
Отметим, что данный ответ можно получить, если использовать понятие скорости сближения между движущимися объектами. В задаче она равна 20 км/ч (80-60). То есть при этом подходе возникает ситуация, когда один объект движется (автомобиль), а второй относительно него стоит на месте (грузовик). Поэтому достаточно поделить расстояние между пунктами A и B на скорость сближения, чтобы решить задачу.
Пример решения задачи №2
Приведем еще один пример задач на движение вдогонку (формулы для решения используются те же): "Из одного пункта выезжает велосипедист, а через 3 часа в ту же сторону выезжает автомобиль. Через какое время после начала своего движения автомобиль догонит велосипедиста, если известно, что он движется в 4 раза быстрее?".
Решать эту задачу следует так же, как и предыдущую, то есть необходимо определить, какой путь пройдет каждый участник движения до момента, когда один догонит другого. Предположим, что автомобиль догнал велосипедиста через время t, тогда получаем следующие пройденные пути: s 1 = v 1 *(t+3) и s 2 = v 2 *t, здесь s 1 , v 1 и s 2 , v 2 - пути и скорости велосипедиста и автомобиля соответственно. Заметим, что до того, как автомобиль догнал велосипедиста, последний находился в пути t + 3 часа, так как он выехал на 3 часа раньше.
Зная, что оба участника отправились из одного пункта, и пройденные ими пути будут равны, получаем: s 2 = s 1 или v 1 *(t+3) = v 2 *t. Скорости v 1 и v 2 нам не известны, однако в условии задачи сказано, что v 2 = 4*v 1 . Подставляя это выражение в формулу для равенства путей, получим: v 1 *(t+3) = 4*v 1 *t или t+3 = 4*t. Решая последнее, приходим к ответу: t = 3/3 = 1 ч.
Формулы движения вдогонку являются простыми, тем не менее школьников в 4 классе важно научить мыслить логически, понимать значение величин, с которыми они имеют дело, и осознавать проблему, которая перед ними стоит. Ребят рекомендуется призывать к рассуждениям вслух, а также к командной работе. Кроме того, для наглядности задач можно использовать компьютер и проектор. Все это способствует развитию у них абстрактного мышления, коммуникативных навыков, а также математических способностей.
Цели урока:
1. Образовательные:
· научить решать задачи на движение вдогонку;
· научить составлять задачи на движение вдогонку.
2. Развивающие:
· Развивать логическое мышление, память, внимание, навыки устных и письменных вычислений, самоанализа и самоконтроля;
· Развивать познавательный интерес, умение переносить знания в новые условия.
3. Воспитательные:
· Создать условия для воспитания коммуникативной культуры, умение выслушивать и уважать мнения других;
· Воспитывать ответственность, любознательность, усидчивость, познавательную активность, доброе отношение к своим одноклассникам;
· Формировать потребность в здоровом образе жизни.
Формирование УУД:
· Личностные действия: (самоопределение, смыслообразование, нравственно-этическая ориентация);
· Регулятивные действия: (целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция);
· Познавательные действия: (общеучебные, логические, постановка и решение проблемы);
· Коммуникативные действия: (планирование учебного сотрудничества, постановка вопросов, разрешение конфликтов, управление поведением партнера, умение с достаточной точностью и полнотой выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации).
Скачать:
Предварительный просмотр:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФБГОУ ВПО
КАЛУЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО
Кафедра естественно-математических дисциплин и методики их преподавания в начальной школе
конспект урока математики в 4 классе
по теме:
«Движение вдогонку»
Студентки 5 курса, гр. НОЗ - 51
Института педагогики заочной формы обучения
Специальность «Педагогика и
Методика начального образования»
Коженкиной Александры Сергеевны
Проверил: Зиновьева В. Н.
Калуга, 2014.
План-конспект урока по математике по теме: «Движение вдогонку»
Урок по образовательной системе «Школа 2100»
Цели урока:
- Образовательные:
- научить решать задачи на движение вдогонку;
- научить составлять задачи на движение вдогонку.
- Развивающие:
- Развивать логическое мышление, память, внимание, навыки устных и письменных вычислений, самоанализа и самоконтроля;
- Развивать познавательный интерес, умение переносить знания в новые условия.
- Воспитательные:
- Создать условия для воспитания коммуникативной культуры, умение выслушивать и уважать мнения других;
- Воспитывать ответственность, любознательность, усидчивость, познавательную активность, доброе отношение к своим одноклассникам;
- Формировать потребность в здоровом образе жизни.
Формирование УУД:
- Личностные действия: (самоопределение, смыслообразование, нравственно-этическая ориентация);
- Регулятивные действия: (целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция);
- Познавательные действия: (общеучебные, логические, постановка и решение проблемы);
- Коммуникативные действия: (планирование учебного сотрудничества, постановка вопросов, разрешение конфликтов, управление поведением партнера, умение с достаточной точностью и полнотой выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации).
Оборудование:
- Карточки для работы на разных этапах урока;
- Презентация;
- Учебник и рабочая тетрадь.
ХОД УРОКА
- Самоопределение к деятельности.
Первое – предлог,
Второе – летний дом,
А целое порой
Решается с трудом.
- Что это?
- Задача.
- Значит, чем мы будем заниматься на уроке?
- Решать задачи.
- Да, сегодня мы с вами продолжаем знакомиться с темой движения, и будем решать задачи нового типа.
- Но для начала нам надо подкрепить наш вычислительный аппарат.
- Актуализация знаний.
- Представьте, что вы кругосветные путешественники. «Почему?» - спросите вы. Да, потому, что каждый из вас успел в своей жизни, сам того не подозревая, пройти пешком путь, равный окружности земного шара. Не верите? Давайте вместе и проверим.
t = 5 ч 1 день – 25 км V = 8000 км/год
V = 5 км/ч 360 дней - ? км S = 40000 км
S - ? км t - ? лет
- В течение дня вы проводите на ногах не менее 5 часов. При средней ходьбе человек проходит 5 км/ч. Сколько километров проходит человек за день?
- 25 км.
- Определите, какой путь проходит каждый из нас в течение года.
- 25 * 360 = 9000 (км)
- Какое правило используем для вычисления?
- Умножение суммы на число.
- Человек, никогда не покидавший родного города, ежегодно проходит пешком 8000 – 9000 километров. Окружность Земного шара имеет длину 40000 километров. Вычислите, во сколько лет совершаем мы пешеходное путешествие, равное кругосветному?
- 40000: 8000 = 5 (лет)
- Будем считать, что человек начинает ходить с 2-х летнего возраста. Во сколько лет вы совершите 2 таких кругосветных путешествия?
- В 12 лет.
- Дожив до 60 лет, мы 10 раз обойдем вокруг Земного шара, т.е. пройдем путь, более длинный, чем расстояние от Земли до Луны.
- Какими понятиями мы пользовались?
- Скорость, время, расстояние.
- Как найти скорость?
- V = S: t
- Как найти время?
- t = S: v
- Как найти расстояние?
- S = v * t
- Сегодня, эти понятия помогут нам в решении задач.
- Внимание на доску:
- Что можете сказать об этих схемах?
- Два объекта движутся навстречу друг другу и в противоположных направлениях.
- Какие понятия помогут нам решить задачи по этим схемам?
- Внимание на доску:
Скорость сближения
V сбл. = V 1 + V 2
Скорость удаления
V удал. = V 1 - V 2
- Что такое скорость сближения?
- (Ответы детей)
- Что такое скорость удаления?
- (Ответы детей)
- Составьте выражение и найдите его значение:
одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а автобус догоняет его со скоростью 60 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 4 часа? Когда произойдет встреча?
- Постановка учебной задачи.
- Какое задание выполняли?
- Находили расстояние между велосипедистом и автобусом через 4 часа после их выхода.
- Как они двигались?
- Одновременно вдогонку.
- Почему вы не смогли найти это расстояние?
- У нас нет алгоритма его выполнения.
- Что же нам сделать, чтобы решить задачу – поставьте перед собой цель.
- Нам надо построить алгоритм нахождения расстояния между объектами при движении вдогонку.
- Сформулируйте тему урока.
- Движение вдогонку.
- «Открытие нового знания».
№1, стр.97.
- Прочитайте задачу.
- Из пунктов А и В, удаленных друг от друга на 200 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а автобус догоняет его со скоростью 60 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 1 час? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, t ч? Когда произойдет встреча?
Закончи построения на координатном луче и обозначь место встречи флажком. Заполни таблицу и запиши формулу зависимости расстояния d между автобусом и велосипедистом от времени движения t.
- Какое расстояние было между велосипедистом и автобусом в самом начале?
- 200 км.
- Какова их скорость сближения? Заполните в учебнике.
- V сбл. = 60 - 10 = 50 (км/ч)
- Что показывает скорость сближения 50 км/ч?
- Она показывает, что велосипедист и автобус за каждый час сближаются на 50 км.
- Как же узнать, каким оно стало через 1 час?
- Надо 50 км вычесть из 200 км, получим 150 км.
- Что же будет происходить дальше?
- Потом они сблизятся еще на 50 км, потом еще на 50 км и т.д.
- Как же определить расстояние через 2 ч, 3 ч?
- Надо из 200 вычесть 50 * 2, 50 * 3.
- Закончите заполнение таблицы.
- 200 - (60 - 10) * 2 = 100
- 200 - (60 - 10) * 3 = 50
- 200 - (60 - 10) * 4 = 0
- 200 - (60 - 10) * t = …
- Запишите формулу расстояния d между велосипедистом и автобусом в момент времени t.
- d = 200 - (60 - 10) * t, или d = 200 - 50 * t.
- Что произошло через 4 часа?
- Велосипедист и автобус встретились.
- Как это вычислить по формуле, не используя построений?
- Расстояние в момент встречи равно 0, значит, t встр. = 200: (60 – 10).
- Запишите это равенство, используя знак умножения.
- 200 - (60 - 10) * t встр.
Полученные равенства фиксируются на доске:
d = 200 - (60 - 10) * t 200 = (60 - 10) * t встр.
- Обозначьте первоначальное расстояние (200 км) буквой s, а скорости велосипедиста и автобуса (10 км/ч и 60 км/ч) – v 1 и v 2 и запишите полученные равенства в обобщенном виде.
Число 200 закрывается в равенствах на доске буквой s, а числа 10 и 60 – буквами v 1 и v 2 . Получаются формулы, которые на данном уроке можно использовать как опорные конспекты:
d = s - (v 1 - v 2 ) * t s = (v 1 - v 2 ) * t встр.
- Эти формулы можно перевести с математического языка на русский в форме правил:
- Чтобы при одновременном движении вдогонку найти расстояние между двумя объектами в данный момент времени, можно из первоначального расстояния вычесть скорость сближения, умноженную на время в пути.
- При одновременном движении вдогонку первоначальное расстояние равно скорости сближения, умноженной на время до встречи.
Данные правила не должны заучиваться формально – это малопродуктивно, а должны воспроизводиться как выражение в речи смысла построенных формул. При этом каждая из формул хранит в себе богатейшую информацию о том, как найти значение любой из входящих в нее величин. Например, из второй формулы следует, что время до встречи равно первоначальному расстоянию, деленному на скорость сближения, а скорость сближения, наоборот, - первоначальному расстоянию, деленному на время до встречи. Таким образом, построенные формулы помогают решить практически любую задачу на одновременное движение вдогонку, поскольку в них показана связь между всеми существенными его характеристиками.
- Первичное закрепление.
Организуется комментированное решение задач на использование введенных алгоритмов: сначала фронтально, затем в группах или парах.
№2, стр. 98.
- Решите задачу. Миша начал догонять Борю, когда расстояние между ними было 100 м. Миша идет со скоростью 80 м/мин, а Боря - со скоростью 60 м/мин. Через сколько времени Миша догонит Борю?
- 80 - 60 = 20 (м/мин) – скорость сближения мальчиков;
- 100: 20 = 5 (мин).
100: (80 - 60) = 5 (мин).
Ответ: Миша догонит Борю через 5 мин.
№4, стр. 98.
- Составьте по схемам взаимно обратные задачи и решите их:
1 и 2 выполняются фронтально.
3 и 4 выполняются в группах или парах.
- (115 – 25) * 3 = 270 (км);
- 115 – 270: 3 = 25 (км/ч);
- 270: (115 – 25) = 3 (ч);
- 270: 3 + 25 = 115 (км/ч).
- Самостоятельная работа.
Учащиеся проводят самоконтроль и самооценку усвоения ими построенного алгоритма. Они самостоятельно решают задачу на новый вид движения, проверяют и оценивают правильность своего решения и убеждаются в том, что новый способ действий ими освоен. В случае необходимости ошибки корректируются.
№3, стр. 98.
- Решите задачу.
Из пунктов А и В одновременно в одном направлении выехали 2 поезда. Скорость первого поезда равна 80 км/ч, а скорость второго поезда, идущего вдогонку первому поезду, равна 110 км/ч. Встреча произошла через 4 ч после выезда поездов. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты А и В?
- 110 – 80 = 30 (км/ч) – скорость сближения поездов;
- 30 * 4 = 120 (км).
(110 – 80) * 4 = 120 (км).
Ответ: пункты А и В находятся на расстоянии 120 км друг от друга.
- Включение в систему знаний и повторение.
Выполняются задания на закрепление ранее изученного материала.
№6, стр. 98.
- Решите задачу.
В бочку с водой проведен шланг, через который в нее вливается 9 ведер воды в час. Через другой шланг водой из бочки поливают огород, расходуя при этом 16 ведер воды в час. Через сколько времени опустошится полная бочка, вмещающая 21 ведро воды, если оба шланга начнут использоваться одновременно?
- 16 – 9 = 7 (в./ч) – скорость уменьшения воды в бочке;
- 21: 7 = 3 (ч).
21: (16 – 9) = 3 (ч).
Ответ: полная бочка опустошится через 3 часа.
- Домашняя работа.
- Дома по новой теме нужно выучить опорные конспекты – то есть новую формулу и придумать и решить свою задачу на новый вид движения - движение вдогонку, аналогичную №2.
- Дополнительно по желанию можно выполнить задачу №7.
№7, стр. 99
В кухне у Вовочки было 18 мух. Вовочка бьет мухобойкой 5 мух в минуту, и в кухню в то же время влетают 2 новые мухи. Через сколько времени в кухне не останется мух?
18: (5 – 2) = 6 (мин).
План-конспект урока по математике по теме: «Движение вдогонку»
Урок по образовательной системе «Школа 2100»
Разработала: Коженкина
Александра Сергеевна
Цели урока:
- 1. Образовательные:
- · научить решать задачи на движение вдогонку;
- · научить составлять задачи на движение вдогонку.
- 2. Развивающие:
- · Развивать логическое мышление, память, внимание, навыки устных и письменных вычислений, самоанализа и самоконтроля;
- 3. Развивать познавательный интерес, умение переносить знания в новые условия.
- 4. Воспитательные:
- · Создать условия для воспитания коммуникативной культуры, умение выслушивать и уважать мнения других;
- · Воспитывать ответственность, любознательность, усидчивость, познавательную активность, доброе отношение к своим одноклассникам;
- · Формировать потребность в здоровом образе жизни.
Формирование УУД:
- · Личностные действия: (самоопределение, смыслообразование, нравственно-этическая ориентация);
- · Регулятивные действия: (целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция);
- · Познавательные действия: (общеучебные, логические, постановка и решение проблемы);
- · Коммуникативные действия: (планирование учебного сотрудничества, постановка вопросов, разрешение конфликтов, управление поведением партнера, умение с достаточной точностью и полнотой выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации).
Оборудование:
- · Карточки для работы на разных этапах урока;
- · Презентация;
- · Учебник и рабочая тетрадь.
ХОД УРОКА
1. Самоопределение к деятельности.
Первое - предлог,
Второе - летний дом,
А целое порой
Решается с трудом.
- - Что это?
- - Задача.
- - Значит, чем мы будем заниматься на уроке?
- - Решать задачи.
- - Да, сегодня мы с вами продолжаем знакомиться с темой движения, и будем решать задачи нового типа.
- - Но для начала нам надо подкрепить наш вычислительный аппарат.
- 2. Актуализация знаний
- - Представьте, что вы кругосветные путешественники. «Почему?» - спросите вы. Да, потому, что каждый из вас успел в своей жизни, сам того не подозревая, пройти пешком путь, равный окружности земного шара. Не верите? Давайте вместе и проверим.
t = 5 ч-1 день - 25 км-V = 8000 км/год
V = 5 км/ч-360 дней - ? км-S = 40000 км
- S - ? км-t - ? лет
- - В течение дня вы проводите на ногах не менее 5 часов. При средней ходьбе человек проходит 5 км/ч. Сколько километров проходит человек за день?
- - 25 км.
- - Определите, какой путь проходит каждый из нас в течение года.
- - 25 * 360 = 9000 (км)
- - Какое правило используем для вычисления?
- - Умножение суммы на число.
- - Человек, никогда не покидавший родного города, ежегодно проходит пешком 8000 - 9000 километров. Окружность Земного шара имеет длину 40000 километров. Вычислите, во сколько лет совершаем мы пешеходное путешествие, равное кругосветному?
- - 40000: 8000 = 5 (лет)
- - Будем считать, что человек начинает ходить с 2-х летнего возраста. Во сколько лет вы совершите 2 таких кругосветных путешествия?
- - В 12 лет.
- - Дожив до 60 лет, мы 10 раз обойдем вокруг Земного шара, т.е. пройдем путь, более длинный, чем расстояние от Земли до Луны.
- - Какими понятиями мы пользовались?
- - Скорость, время, расстояние.
- - Как найти скорость?
Как найти время?
- - Как найти расстояние?
- S = v * t
- - Сегодня, эти понятия помогут нам в решении задач.
- - Внимание на доску:
Что можете сказать об этих схемах?
- - Два объекта движутся навстречу друг другу и в противоположных направлениях.
- - Какие понятия помогут нам решить задачи по этим схемам?
- - Внимание на доску:
Скорость сближения
V сбл. = V 1 + V 2
Скорость удаления
V удал. = V 1 - V 2
- - Что такое скорость сближения?
- - (Ответы детей)
- - Что такое скорость удаления?
- - (Ответы детей)
- - Составьте выражение и найдите его значение:
Из пунктов А и В, удаленных друг от друга на 200 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а автобус догоняет его со скоростью 60 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 4 часа? Когда произойдет встреча?
3. Постановка учебной задачи
движение скорость расстояние удаление
- - Какое задание выполняли?
- - Находили расстояние между велосипедистом и автобусом через 4 часа после их выхода.
- - Как они двигались?
- - Одновременно вдогонку.
- - Почему вы не смогли найти это расстояние?
- - У нас нет алгоритма его выполнения.
- - Что же нам сделать, чтобы решить задачу - поставьте перед собой цель.
- - Нам надо построить алгоритм нахождения расстояния между объектами при движении вдогонку.
- - Сформулируйте тему урока.
- - Движение вдогонку.
- 4. «Открытие нового знания»
№1, стр.97.
- - Прочитайте задачу.
- а) Из пунктов А и В, удаленных друг от друга на 200 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а автобус догоняет его со скоростью 60 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 1 час? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, t ч? Когда произойдет встреча?
Закончи построения на координатном луче и обозначь место встречи флажком. Заполни таблицу и запиши формулу зависимости расстояния d между автобусом и велосипедистом от времени движения t.
- б) Как найти время до встречи с помощью вычислений? Докажи.
- в) Запиши формулу зависимости между величинами и
- - Какое расстояние было между велосипедистом и автобусом в самом начале?
- - 200 км.
- - Какова их скорость сближения? Заполните в учебнике.
- - V сбл. = 60 - 10 = 50 (км/ч)
- - Что показывает скорость сближения 50 км/ч?
- - Она показывает, что велосипедист и автобус за каждый час сближаются на 50 км.
- - Как же узнать, каким оно стало через 1 час?
- - Надо 50 км вычесть из 200 км, получим 150 км.
- - Что же будет происходить дальше?
- - Потом они сблизятся еще на 50 км, потом еще на 50 км и т.д.
- - Как же определить расстояние через 2 ч, 3 ч?
- - Надо из 200 вычесть 50 * 2, 50 * 3.
- - Закончите заполнение таблицы.
- - 200 - (60 - 10) * 2 = 100
- - 200 - (60 - 10) * 3 = 50
- - 200 - (60 - 10) * 4 = 0
- - 200 - (60 - 10) * t = …
- - Запишите формулу расстояния d между велосипедистом и автобусом в момент времени t.
- - d = 200 - (60 - 10) * t, или d = 200 - 50 * t.
- - Что произошло через 4 часа?
- - Велосипедист и автобус встретились.
- - Как это вычислить по формуле, не используя построений?
- - Расстояние в момент встречи равно 0, значит, t встр. = 200: (60 - 10).
- - Запишите это равенство, используя знак умножения.
- - 200 - (60 - 10) * t встр.
Полученные равенства фиксируются на доске:
d = 200 - (60 - 10) * t
- 200 = (60 - 10) * t встр.
- - Обозначьте первоначальное расстояние (200 км) буквой s, а скорости велосипедиста и автобуса (10 км/ч и 60 км/ч) - v 1 и v 2 и запишите полученные равенства в обобщенном виде.
Число 200 закрывается в равенствах на доске буквой s, а числа 10 и 60 - буквами v 1 и v 2 . Получаются формулы, которые на данном уроке можно использовать как опорные конспекты:
d = s - (v 1 - v 2) * t
- s = (v 1 - v 2) * t встр.
- - Эти формулы можно перевести с математического языка на русский в форме правил:
- 1) Чтобы при одновременном движении вдогонку найти расстояние между двумя объектами в данный момент времени, можно из первоначального расстояния вычесть скорость сближения, умноженную на время в пути.
- 2) При одновременном движении вдогонку первоначальное расстояние равно скорости сближения, умноженной на время до встречи.
Данные правила не должны заучиваться формально - это малопродуктивно, а должны воспроизводиться как выражение в речи смысла построенных формул. При этом каждая из формул хранит в себе богатейшую информацию о том, как найти значение любой из входящих в нее величин. Например, из второй формулы следует, что время до встречи равно первоначальному расстоянию, деленному на скорость сближения, а скорость сближения, наоборот, - первоначальному расстоянию, деленному на время до встречи. Таким образом, построенные формулы помогают решить практически любую задачу на одновременное движение вдогонку, поскольку в них показана связь между всеми существенными его характеристиками.
5. Первичное закрепление
Организуется комментированное решение задач на использование введенных алгоритмов: сначала фронтально, затем в группах или парах.
№2, стр. 98.
Решите задачу.
Миша начал догонять Борю, когда расстояние между ними было 100 м. Миша идет со скоростью 80 м/мин, а Боря -- со скоростью 60 м/мин. Через сколько времени Миша догонит Борю?
- 1) 80 - 60 = 20 (м/мин) - скорость сближения мальчиков;
- 2) 100: 20 = 5 (мин).
- 100: (80 - 60) = 5 (мин).
Ответ: Миша догонит Борю через 5 мин.
№4, стр. 98.
- - Составьте по схемам взаимно обратные задачи и решите их:
- 1 и 2 выполняются фронтально.
- 3 и 4 выполняются в группах или парах.
- 1) (115 - 25) * 3 = 270 (км);
- 2) 115 - 270: 3 = 25 (км/ч);
- 3) 270: (115 - 25) = 3 (ч);
- 4) 270: 3 + 25 = 115 (км/ч).
- 6. Самостоятельная работа.
Учащиеся проводят самоконтроль и самооценку усвоения ими построенного алгоритма. Они самостоятельно решают задачу на новый вид движения, проверяют и оценивают правильность своего решения и убеждаются в том, что новый способ действий ими освоен. В случае необходимости ошибки корректируются.
№3, стр. 98.
Решите задачу.
Из пунктов А и В одновременно в одном направлении выехали 2 поезда. Скорость первого поезда равна 80 км/ч, а скорость второго поезда, идущего вдогонку первому поезду, равна 110 км/ч. Встреча произошла через 4 ч после выезда поездов. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты А и В?
- 1) 110 - 80 = 30 (км/ч) - скорость сближения поездов;
- 2) 30 * 4 = 120 (км).
- (110 - 80) * 4 = 120 (км).
Ответ: пункты А и В находятся на расстоянии 120 км друг от друга.
7. Включение в систему знаний и повторение
Выполняются задания на закрепление ранее изученного материала.
№6, стр. 98.
Решите задачу.
В бочку с водой проведен шланг, через который в нее вливается 9 ведер воды в час. Через другой шланг водой из бочки поливают огород, расходуя при этом 16 ведер воды в час. Через сколько времени опустошится полная бочка, вмещающая 21 ведро воды, если оба шланга начнут использоваться одновременно?
- 1) 16 - 9 = 7 (в./ч) - скорость уменьшения воды в бочке;
- 2) 21: 7 = 3 (ч).
- 21: (16 - 9) = 3 (ч).
Ответ: полная бочка опустошится через 3 часа.
- 8. Домашняя работа
- - Дома по новой теме нужно выучить опорные конспекты - то есть новую формулу и придумать и решить свою задачу на новый вид движения - движение вдогонку, аналогичную №2.
- - Дополнительно по желанию можно выполнить задачу №7.
№7, стр. 99
В кухне у Вовочки было 18 мух. Вовочка бьет мухобойкой 5 мух в минуту, и в кухню в то же время влетают 2 новые мухи. Через сколько времени в кухне не останется мух?
Цель урока: познакомить учащихся с новым видом задач на движение (вдогонку).
- обучающие : учиться читать и записывать информацию, представленную в виде различных математических моделей, строить высказывания, продолжать учиться называть цели конкретного задания, алгоритм (план работы), проверять, исправлять и оценивать результаты работы так, как это было описано ранее.
- развивающие : способствовать развитию математического мышления, познавательной активности обучающихся, умения пользоваться математической терминологией.
- воспитательные : продолжить работу по воспитанию взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата;
- воспитывать внимание, самостоятельность, самоконтроль, аккуратность, прививать интерес к предмету.
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний
Методы и приемы: словесные, наглядные, частично-поисковые.
Используемые учебники и учебные пособия: Учебник “Математика” Алматы “Атамра” 2011
Используемое оборудование:
- интерактивное оборудование (мультимедийный проектор), компьютер,
- интер.доска.
Ход урока
1. Вводно-мотивационная часть
Всем она давно знакома -
Ждёт послушно возле дома,
Только выйдешь из ворот-
Куда хочешь поведёт.
Какое действие совершают машины по дороге?
Прочитайте дружно, хором наш девиз:
Смело иди вперед,
Не стой на месте,
Чего не сделает один,
Сделаем вместе!
2. Актуализация знаний. Минутка чистописания
Запишите формулы нахождения расстояния, скорости и времени.
Чем отличаются величины: расстояние и скорость?
- Расстояние – это путь, пройденный за несколько единиц времени;
- Cкорость – это путь, пройденный за одну единицу времени
3. Устный счёт (задачи на движение)
Задача №1
Шофер все сильнее давит на газ
Скорость – сто километров в час.
Тебе нетрудно будет сказать,
Сколько проедет за три часа
Автомобиль со скоростью этой?
Решай поскорее – жду ответа!
100 х 3 = 300 (км)
Задача №2
За 5 часов один пешеход
Тридцать пять километров пройдет.
Должен быть ответ поскорее готов:
Сколько пройдет он за восемь часов
Если скорость свою не изменит?
Решай – и учитель ответ оценит!
1) 35: 5 = 7 (км/ч)
2) 7 х 8 = 56 (км)
Задача №3
Возьми-ка ручку,
Открой чистый лист,
Задачу послушай: “Прошел турист
Со скоростью пять километров в час
Сто километров.” Ответ найди:
Сколько часов он был в пути?
Решение: 100: 5 = 20 (час.)
Задача №4
Лора задачу быстро решила:
“Пятьсот километров проедет машина
За десять часов. Какова же скорость?”
Лора решала, не беспокоясь:
Пятьсот умножает на десять скоро.
Ответ получает. Права ли Лора?
Решение:
Лора не права!
500: 10 = 50 (км/ч)
4. Закрепление пройденного.
С какими видами движения вы знакомы?
Встречное движение
Движение в противоположных направлениях.
Движение с отставанием.
С какой темой мы познакомились на прошлых уроках? (- Одновременное движение с отставанием.)
Работа по группам
(Группам раздаются карточки со схемами к задачам)
Задание: Какое направление движения соответствует решению?
14 км/ч+12км/ч=26км/ч
14 км/ч-12км/ч=2км/ч
5. Проблемная ситуация. Решите задачи по схемам.
Почему не удалось решить вторую задачу? - Это задача на движение вдогонку.
Не умеем находить скорость сближения при движении вдогонку.
Постановка учебной задачи.
Какова же тема нашего урока? Задачи на движение вдогонку.
Какие цели мы поставим?
- познакомиться со скоростью сближения при движении вдогонку;
- научиться решать задачи на движение вдогонку.
7. “Открытие” учащимися нового знания.
а) Работа над задачей стр. 230 №3
Вначале понаблюдаем, что происходит с объектами при движении вдогонку. Заполним таблицу, чтобы сделать верные выводы.
(Текст задачи на стр.230 №3, чертежи с числовым лучом, таблица у каждого ученика.)
Прочитайте условие вслух.
Из городов, длина пути между которыми 240км, одновременно в одном направлении выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость автобуса 56км/ч. Сколько километров будет между ними через 2 часа?
Разбор задачи:
В какой точке находится автомобиль? В точке 0.
А автобус? В точке 240.
Какое между ними расстояние до начала движения? 240 км
Занесите в таблицу.
Покажите на числовом луче, где будет находиться автомобиль через час.
В точке 80.
И где через час будет находиться автобус. В точке 296 .
Как изменилось расстояние между ними? Расстояние между объектами за каждую единицу времени будет уменьшаться на одно и то же число.
Как это записать? (Vб - Vм)
Составьте выражение и внесите запись в таблицу. 240 – (80-56) x 1 = 216 км
Покажите на числовом луче, в каких точках будут находиться автомобиль и автобус через два часа. В точках 160 и 352
Как изменилось расстояние между объектами через два часа? Уменьшилось еще на (80-56) x 2
Узнайте, какое расстояние стало между ними через два часа, запишите выражение в таблицу 240 – (80-56) x 2 = 192 км
Сделайте вывод, с помощью какой формулы мы узнали, как изменяется расстояние при движении вдогонку? d = S – (V 1 – V 2) x t
Запишите формулы зависимости между величинами: S, t, V.
Vсбл= (V 1 – V 2) Sп = Vсбл. x t,
t встр.= S: (V 1 – V 2), V 1 = S: t – V 2
d = S – (V 1 – V 2) x t
8. Для закрепления работа над задачей стр.231 №9
9. Рефлексия.
Что такое скорость сближения.
(- Скорость сближения – расстояние, при котором объекты сближаются за единицу времени.)
Как найти скорость сближения при движении вдогонку?
Vсбл = (Vб – Vм),
Какие еще знания необходимы, чтобы успешно решать задачи на движение вдогонку?
Sп = Vсбл. x t,
t встр.= S: (Vб – Vм), V1= S: t – V2
>> Урок 28. Движение вдогонку
1. а) Из пунктов А и В, удаленных друг от друга на 200 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а автобус догоняет его со скоростью 60 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 1 час? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, t ч? Когда произойдет встреча?
Закончи построения на координатном луче и обозначь место встречи флажком. Заполни таблицу и запиши формулу зависимости расстояния d между автобусом и велосипедистом от времени движения t.
б) Как найти время до встречи с помощью вычислений? Докажи.
в) Запиши формулу зависимости между величинами и
2. Миша начал догонять Борю, когда расстояние между ними было 100 м. Миша идет со скоростью 80 м/мин, а Боря - со скоростью 60 м/мин. Через сколько времени Миша догонит Борю?
3. Из пунктов А и В одновременно в одном направлении выехали 2 поезда. Скорость первого поезда равна 80 км/ч, а скорость второго поезда, идущего вдогонку первому поезду, равна 110 км/ч. Встреча произошла через 4 ч после выезда поездов. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты А и В ?
4. Составь по схемам взаимно обратные задачи и реши их:
