Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении в одном направлении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, отдаляясь друг от друга или сближаясь друг с другом.
Задачи на скорость сближения
Скорость с которой объекты сближаются друг с другом называется скоростью сближения .
Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.
Задача 1. Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?
Решение: Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалится от города на:
40 · 4 = 160 (км)
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей:
60 - 40 = 20 (км/ч) - это скорость сближения автомобилей
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся:
160: 20 = 8 (ч)
1) 40 · 4 = 160 (км) - расстояние между автомобилями
2) 60 - 40 = 20 (км/ч) - скорость сближения автомобилей
3) 160: 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.
Задача 2. Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов:
5 - 4 = 1 (км/ч)
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого:
Решение задачи по действиям можно записать так:
1) 5 - 4 = 1 (км/ч) - это скорость сближения пешеходов
2) 5: 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.
Задача на скорость удаления
Скорость с которой объекты отдаляются друг от друга называется скоростью удаления .
Чтобы найти скорость удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.
Задача 2. Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго - 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение: Сначала узнаем скорость удаления автомобилей друг от друга, для этого вычтем из большей скорости меньшую:
80 - 40 = 40 (км/ч)
Каждый час автомобили отдаляются друг от друга на 40 км. Теперь можно узнать сколько километров будет между ними через 3 часа, для этого скорость удаления умножим на 3:
40 · 3 = 120 (км)
Чтобы узнать через сколько часов расстояние между автомобилями станет 200 км, надо расстояние разделить на скорость удаления:
200: 40 = 5 (ч)
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.
Если расстояние между двумя телами равно s , они движутся по прямой в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 соответственно (v 1 > v 2) так, что первое тело следует за вторым, то время t , через которое первое тело догонит второе, находится по формуле
Задача 2. Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
Решение. Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, т.е. 0,3 км, находим по формуле t = 0,3: 1,5 = 0,2 (ч)
Следовательно, это время составляет 12 минут.
Ответ: через 12 минут.
Тренировочные задачи
Т2.1. Города A, B и C соединены прямолинейным шоссе, причем город B расположен между городами A и C. Из города A в сторону города С выехал легковой автомобиль, и одновременно с ним из города B в сторону города С выехал грузовик. Через сколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкового автомобиля на 25 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние между городами А и B равно 125 км?
Т2.2. Два пешехода отправляются из одного и того же места в одном направлении на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 200 метрам?
Т2.3. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 6 км от места отправления. Первый идет со скоростью 4,5 км/ч, а второй - со скоростью 5,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. Сколько метров от опушки до места их встречи?
Т2.4. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 500 метров меньше, чем скорый, и на путь в 120 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.
Т2.5. Из города А в город B выехал грузовик, а через час следом за ним выехал легковой автомобиль. Через два часа после выезда легковой автомобиль догнал грузовик и приехал в пункт B на 3 часа раньше, чем грузовик. Сколько часов потратил на дорогу от А до B грузовик?
Т2.6. Из посёлка А в посёлок В, расстояние между которыми равно 20 км, выехал грузовик, а через 8 минут следом за ним выехал автобус, скорость которого на 5 км/ч больше скорости грузовика. Найдите скорость автобуса, если в посёлок B он прибыл одновременно с грузовиком. Ответ дайте в км/ч.
Т2.7. Из города A в город B, расстояние между которыми равно 100 км, одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше скорости велосипедиста, и в В он приехал на 3 часа раньше, чем велосипедист. Найдите скорость велосипедиста. Ответ дайте в км/ч.
Т2.8. Расстояние между городами A и B равно 80 км. Из города А в город B выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он проехал половину пути от С до A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до С. Ответ дайте в километрах.
Т2.9. Из города A в город B одновременно выехали два автомобиля: первый со скоростью 80 км/ч, а второй - со скоростью 60 км/ч. Через полчаса следом за ними выехал третий автомобиль. Найдите скорость третьего автомобиля, если известно, что с момента, когда он догнал второй автомобиль, до момента, когда он догнал первый автомобиль, прошёл 1 час 15 минут. Ответ дайте в км/ч.
Т2.10. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час после этого - третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Цель урока: познакомить учащихся с новым видом задач на движение (вдогонку).
- обучающие : учиться читать и записывать информацию, представленную в виде различных математических моделей, строить высказывания, продолжать учиться называть цели конкретного задания, алгоритм (план работы), проверять, исправлять и оценивать результаты работы так, как это было описано ранее.
- развивающие : способствовать развитию математического мышления, познавательной активности обучающихся, умения пользоваться математической терминологией.
- воспитательные : продолжить работу по воспитанию взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата;
- воспитывать внимание, самостоятельность, самоконтроль, аккуратность, прививать интерес к предмету.
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний
Методы и приемы: словесные, наглядные, частично-поисковые.
Используемые учебники и учебные пособия: Учебник “Математика” Алматы “Атамра” 2011
Используемое оборудование:
- интерактивное оборудование (мультимедийный проектор), компьютер,
- интер.доска.
Ход урока
1. Вводно-мотивационная часть
Всем она давно знакома -
Ждёт послушно возле дома,
Только выйдешь из ворот-
Куда хочешь поведёт.
Какое действие совершают машины по дороге?
Прочитайте дружно, хором наш девиз:
Смело иди вперед,
Не стой на месте,
Чего не сделает один,
Сделаем вместе!
2. Актуализация знаний. Минутка чистописания
Запишите формулы нахождения расстояния, скорости и времени.
Чем отличаются величины: расстояние и скорость?
- Расстояние – это путь, пройденный за несколько единиц времени;
- Cкорость – это путь, пройденный за одну единицу времени
3. Устный счёт (задачи на движение)
Задача №1
Шофер все сильнее давит на газ
Скорость – сто километров в час.
Тебе нетрудно будет сказать,
Сколько проедет за три часа
Автомобиль со скоростью этой?
Решай поскорее – жду ответа!
100 х 3 = 300 (км)
Задача №2
За 5 часов один пешеход
Тридцать пять километров пройдет.
Должен быть ответ поскорее готов:
Сколько пройдет он за восемь часов
Если скорость свою не изменит?
Решай – и учитель ответ оценит!
1) 35: 5 = 7 (км/ч)
2) 7 х 8 = 56 (км)
Задача №3
Возьми-ка ручку,
Открой чистый лист,
Задачу послушай: “Прошел турист
Со скоростью пять километров в час
Сто километров.” Ответ найди:
Сколько часов он был в пути?
Решение: 100: 5 = 20 (час.)
Задача №4
Лора задачу быстро решила:
“Пятьсот километров проедет машина
За десять часов. Какова же скорость?”
Лора решала, не беспокоясь:
Пятьсот умножает на десять скоро.
Ответ получает. Права ли Лора?
Решение:
Лора не права!
500: 10 = 50 (км/ч)
4. Закрепление пройденного.
С какими видами движения вы знакомы?
Встречное движение
Движение в противоположных направлениях.
Движение с отставанием.
С какой темой мы познакомились на прошлых уроках? (- Одновременное движение с отставанием.)
Работа по группам
(Группам раздаются карточки со схемами к задачам)
Задание: Какое направление движения соответствует решению?
14 км/ч+12км/ч=26км/ч
14 км/ч-12км/ч=2км/ч
5. Проблемная ситуация. Решите задачи по схемам.
Почему не удалось решить вторую задачу? - Это задача на движение вдогонку.
Не умеем находить скорость сближения при движении вдогонку.
Постановка учебной задачи.
Какова же тема нашего урока? Задачи на движение вдогонку.
Какие цели мы поставим?
- познакомиться со скоростью сближения при движении вдогонку;
- научиться решать задачи на движение вдогонку.
7. “Открытие” учащимися нового знания.
а) Работа над задачей стр. 230 №3
Вначале понаблюдаем, что происходит с объектами при движении вдогонку. Заполним таблицу, чтобы сделать верные выводы.
(Текст задачи на стр.230 №3, чертежи с числовым лучом, таблица у каждого ученика.)
Прочитайте условие вслух.
Из городов, длина пути между которыми 240км, одновременно в одном направлении выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость автобуса 56км/ч. Сколько километров будет между ними через 2 часа?
Разбор задачи:
В какой точке находится автомобиль? В точке 0.
А автобус? В точке 240.
Какое между ними расстояние до начала движения? 240 км
Занесите в таблицу.
Покажите на числовом луче, где будет находиться автомобиль через час.
В точке 80.
И где через час будет находиться автобус. В точке 296 .
Как изменилось расстояние между ними? Расстояние между объектами за каждую единицу времени будет уменьшаться на одно и то же число.
Как это записать? (Vб - Vм)
Составьте выражение и внесите запись в таблицу. 240 – (80-56) x 1 = 216 км
Покажите на числовом луче, в каких точках будут находиться автомобиль и автобус через два часа. В точках 160 и 352
Как изменилось расстояние между объектами через два часа? Уменьшилось еще на (80-56) x 2
Узнайте, какое расстояние стало между ними через два часа, запишите выражение в таблицу 240 – (80-56) x 2 = 192 км
Сделайте вывод, с помощью какой формулы мы узнали, как изменяется расстояние при движении вдогонку? d = S – (V 1 – V 2) x t
Запишите формулы зависимости между величинами: S, t, V.
Vсбл= (V 1 – V 2) Sп = Vсбл. x t,
t встр.= S: (V 1 – V 2), V 1 = S: t – V 2
d = S – (V 1 – V 2) x t
8. Для закрепления работа над задачей стр.231 №9
9. Рефлексия.
Что такое скорость сближения.
(- Скорость сближения – расстояние, при котором объекты сближаются за единицу времени.)
Как найти скорость сближения при движении вдогонку?
Vсбл = (Vб – Vм),
Какие еще знания необходимы, чтобы успешно решать задачи на движение вдогонку?
Sп = Vсбл. x t,
t встр.= S: (Vб – Vм), V1= S: t – V2
§ 1 Взаимосвязь понятий «скорость», «время» и «расстояние»
В этом уроке познакомимся с задачами на движение вдогонку.
Решая задачи на движение, мы сталкиваемся со взаимосвязанными понятиями «скорость», «время» и «расстояние».
При решении задач на движение вдогонку используют еще одно понятие «скорость сближения».
Обозначается латинской буквой:
Чтобы найти скорость сближения, зная скорости объектов, надо найти разность этих скоростей:
Чтобы найти скорость сближения, зная время встречи и расстояние между объектами, необходимо это расстояние разделить на время встречи:
§ 2 Решение задач на движение вдогонку
Рассмотрим взаимосвязь понятий «скорость», «время» и «расстояние» при решении задач на движение вдогонку.
Изобразим движение автомобилей на схеме.
Скорость первого автомобиля обозначим буквой:
Скорость второго автомобиля обозначим буквой:
Время встречи обозначим буквой:
Расстояние между населенными пунктами обозначим буквой:
Расстояние, которое проехал до момента встречи первый автомобиль, обозначим буквой:
А расстояние, которое проехал до момента встречи второй автомобиль, буквой:
Чтобы найти неизвестную скорость, необходимо знать:
1)расстояние, которое прошел до встречи первый автомобиль, и время встречи:
2)скорость сближения автомобилей и скорость второго автомобиля:
Поскольку, чтобы найти неизвестную скорость, необходимо знать время встречи, а оно известно и равно 5 часам, и расстояние, пройденное первым автомобилем до встречи, которое не указано в условиях задачи, то необходимо найти это расстояние. Из условия задачи нам известно расстояние между населенными пунктами S = 150 км. Если мы найдем расстояние, которое проехал до момента встречи второй автомобиль, то мы сможем найти и расстояние, которое проехал первый автомобиль, так как
Найдем расстояние, которое проехал второй автомобиль, используя данные задачи.
Теперь мы можем найти и расстояние, которое проехал первый автомобиль.
Найдя расстояние, которое проехал до встречи первый автомобиль, мы можем теперь найти скорость первого автомобиля.
Поскольку, чтобы найти неизвестную скорость, необходимо знать скорость второго автомобиля, из условий задачи она известна, и скорость сближения, которая не оговаривается условиями задачи, то надо найти скорость сближения, используя данные задачи, а именно расстояние 150 км и время встречи 5 часов.
Чтобы найти скорость сближения автомобилей, можно расстояние разделить на время встречи.
Теперь, зная скорость сближения, мы можем найти скорость первого автомобиля.
Получили, что скорость первого автомобиля равна 105 км/ч.
Изобразим движение автобусов на схеме.
Чтобы ответить на поставленный вопрос задачи, необходимо знать расстояние между городами и скорость сближения, так как
Поскольку расстояние нам известно из условия задачи, надо найти скорость сближения.
Теперь, зная скорость сближения, можем найти неизвестное время.
Получаем, что через 8 часов первый автобус догонит второй.
Покажем движение мотоциклиста и велосипедиста на схеме.
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо знать время встречи и скорость сближения мотоциклиста и велосипедиста, так как
Поскольку время встречи известно по условию задачи, и оно равно 4 часам, то необходимо найти скорость сближения. Для этого необходимо найти разность между скоростями мотоциклиста и велосипедиста.
Теперь, зная скорость сближения, можем найти расстояние между поселком и городом.
Получили, что расстояние между поселком и городом равно 100 км.
§ 3 Краткие итоги по теме урока
При решении задач на движение вдогонку следует помнить, что в задачах такого типа выполняются следующие условия:
1)объекты начинают свое движение одновременно вдогонку из разных точек, а значит, будучи в пути одинаковое количество времени, один объект догонит второй;
2)расстояние S - это разность расстояний двух объектов до встречи
3)один объект догоняет другой с определенной скоростью - скоростью сближения
Список использованной литературы:
- Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 2. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 96 с.: ил.
- Математика. 4 класс. Методические рекомендации к учебнику математики «Учусь учиться» для 4 класса / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 280 с.: ил.
- Зак С.М. Все задания к учебнику математики для 4 класса Л.Г. Петерсон и комплекту самостоятельных и контрольных работ. ФГОС. – М.: ЮНВЕС, 2014.
- CD-ROM. Математика. 4 класс. Сценарии уроков к учебнику к 2 части Петерсон Л.Г. – М.: Ювента, 2013.
Использованные изображения:
>> Урок 28. Движение вдогонку
1. а) Из пунктов А и В, удаленных друг от друга на 200 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а автобус догоняет его со скоростью 60 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 1 час? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, t ч? Когда произойдет встреча?
Закончи построения на координатном луче и обозначь место встречи флажком. Заполни таблицу и запиши формулу зависимости расстояния d между автобусом и велосипедистом от времени движения t.
б) Как найти время до встречи с помощью вычислений? Докажи.
в) Запиши формулу зависимости между величинами и
2. Миша начал догонять Борю, когда расстояние между ними было 100 м. Миша идет со скоростью 80 м/мин, а Боря - со скоростью 60 м/мин. Через сколько времени Миша догонит Борю?
3. Из пунктов А и В одновременно в одном направлении выехали 2 поезда. Скорость первого поезда равна 80 км/ч, а скорость второго поезда, идущего вдогонку первому поезду, равна 110 км/ч. Встреча произошла через 4 ч после выезда поездов. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты А и В ?
4. Составь по схемам взаимно обратные задачи и реши их:
